§ 115. Основная дедукция.

1. а) Натуральный ряд чисел есть энергийное становление (становление единицы). Тут все числа представляют собою по типу одно и то же число; и разница между ними не типовая, но количественная. «Количество» создает разницу в пределах одного и того же «качества», не затрагивая его как таковое. Когда еще не получено число со всеми выраженными количественными различиями, диалектический переход к типам числа невозможен. Но вот натуральный ряд дает числа с любым количественным значением, так что категория числа в этом отношении оказывается вполне исчерпанной. В таком случае дальнейшие диалектические противопоставления уже не могут быть чисто количественными. Дальнейшее противопоставление ведет уже к изменению самого типа, самой категории числа, как он дан в числе натурального ряда. И мы пришли к разным типам числа, отличающимся друг от друга уже не количественно, но категориально. В этом смысле все типы числа суть инобытие в отношении натурального ряда, где сконструированы числа при условии только чисто количественных различий. Возникает неизбежный вопрос о диалектическом объединении и отождествлении натурального ряда и этих типов. Рассмотрим этот синтез.

b) Натуральный ряд дает нам числа, бесконечно разнообразные по количеству, но числа, так сказать, в их статическом употреблении. Хотя натуральный ряд сам по себе и есть становление, но входящие в его состав числа даны отнюдь не в своем становлении. Они—статичны. Становление относится здесь к стихии самого порождения чисел, самого их возникновения. Но о становлении каждого числа в отдельности ровно ничего не говорится в понятии натурального ряда. Итак, эти числа статичны и взаимно изолированы. С другой стороны, типы числа, будучи связаны между собою диалектически, отнюдь не связаны между собою количественно. Они связаны диалектически, т. е. исключительно понятийно, категориально; они связаны как категории чисел, а не как числа с тем или другим количественным значением. В этом смысле они абсолютно изолированы. Итак, числа натурального ряда связаны между собою количественно (да и то в совершенно узком и специальном значении этого слова) и совершенно не связаны категориально (все они—одна и та же категория); и типы числа связаны между собою чисто категориально и совершенно не связаны количественно (ко всем ним применимы любые количества). Возникает диалектическая необходимость так объединить числа натурального ряда с типами чисел, чтобы отношения между числами натурального ряда были не только количественными, но и типовыми, а отношения между типами числа были не только типовыми, но и количественными. Короче говоря, необходим диалектический синтез того и другого.

c) Всякий синтез есть прежде всего становление. В процессе становления отождествляются такие бытийные и такие инобытийные моменты, которые—как тезис и антитезис—стоят абсолютно внеположно друг в отношении друга. Следовательно, й здесь мы должны найти некое становление, в котором количественные различия превращались бы в типовые, а типовые получали бы качественное выражение. Это возможно в тех числовых процессах, которые именуютсяарифметическими действиями.

2. Что всякое арифметическое действие есть некое становление, это ясно само собой, ибо для осуществления сложения, вычитания и пр. необходимо, чтобы нечто произошло. Тут мало простого наличия статических и изолированных чисел; необходимо, чтобы они вошли в какоето взаимное объединение и сплетение, чтобы они входили одно в другое и вообще были во всестороннем взаимоотношении. Итак, всякое арифметическое действие есть становление. Но какое это становление? Это именно такое становление, в котором происходит качественное изменение количественных установок. Пусть, напр., мы умножаем —2 на 5 и из полученного произведения извлекаем квадратный корень. Тут от двух типов числа (положительного и отрицательного) мы путем чисто количественных операций переходим совершенно к новому типу числа (к мйимому). Пусть мы имеем сумму 3+2 и делим ее на 2: из одного (или двух) типов числа (положительного и отрицательного) мы получаем опять третий (дробное число). И т. п. Ясно, что всякое арифметическое действйе есть становление, и как раз становление в смысле диалектического синтеза чисел натурального ряда с теми или другими типами числа.

Таково диалектическое место самой категории арифметического действия.

3. Необходимо отметить следующее. Основное место арифметического действия есть то становление, которое есть синтез натурального ряда как бытия и типов числа как инобытия. Но это только основное место. Другими словами, здесь впервые рождается арифметическое действие как отвлеченная категория. Арифметическое действие само по себе, однако, не есть просто категория. Оно есть именно действие, и потому в нем всегда живет та или другая практически–жизненная сложность. Эта сложность для диалектика есть, конечно, опять–таки не что иное, как нераспутанный клубок многочисленных категорий. И если эта сложность действительно жизненная, то клубок категорий всегда в конце концов целесообразно распутывается, и запутанное предстает во всей своей смысловой ясности. Мы и тут применим наши обычные методы и попробуем поискать, не зарыта ли и в каждом отдельном действии та первообразная пентада, которую мы имели в общей теории числа.

4. Итак, формулируем перво–прищип арифметических действий, их принцип и их реальную структуру.

а) Перво–принцип арифметических действий, насколько последние вытекают из синтеза натурального ряда со всевозможными типами числа вообще, есть, очевидно, разноскомбинированное числовое становление. Натуральный ряд чисел, или, что то же, арифметический счет, в своем наиобщем виде есть простейшее и примитивнейшее становление чисел вообще. Он содержит в себе некую единонаправленную, монотонную энергию становления. Со вступлением в синтез с разными типами числа он начинает нарушать эту единую направленность становления, начинает вырывать из этой стихии числового становления отдельные куски, отдельные отрезки и начинает по–разному их комбинировать. Это и превращает счет вообще в то или иное арифметическое действие. Следовательно, перво–принцип арифметических действий есть разнонаправленное, разнокомбинируемое числовое становление, или, попросту, так или иначе кодифицированный счет. Этот первопринцип 1) требует наличия разных отрезков общечислового становления, 2) полагает их вместе один за другим как некую единую последовательность и 3) постулирует то или [иное] взаимоотношение, в которое должны вступить взятые отрезки. Таковы функции перво–принципа.

Заметим, что если арифметическое действие есть синтез натурального ряда (счета) и числовых типов, то это значит, что здесь счет рассматривается для целей получения того или иного числа и число того или иного типа рассматривается с точки зрения происхождения его из операций счета. Но число того или иного типа в сравнении со счетом (который всегда есть процесс) является чем–то стабильным. Поэтому арифметическая операция, будучи процессом, должна быть ввиду своей синтетичности и чем–то стабильным. Она есть всегда и метод становления, и определенный результат различного методического комбинирования этого становления. Вот почему существует не только категория «плюс», но и «сумма», не только «минус», но и «вычитание» и пр. И вот почему перво–принцип арифметических действий обязательно требует сопоставления разных становлений и искания стабильных результатов этого сопоставления.

b) Каков же принцип арифметических действий? Принцип отличается от перво–принципа тем, что рисует реальный переход к каждому отдельному действию, в то время как перво–принцип говорит о всех действиях как о чем–то неделимом. Другими словами, принцип арифметического действия раскрывает содержание третьего момента первопринципа из только что указанных. В самом деле, в каком же реальном взаимоотношении находятся эти сопоставленные лицом к лицу отрезки общечислового становления?

Во–первых, мы не можем оставить [их] в том раздельном виде, в каком они нам предъявлены, и только говорить об их смысловом единстве. Будучи один в отношении другого инобытием, эти разные отрезки становления, однако, непосредственно примыкают друг в отношении к другу уже в силу перво–принципа. Перво–принцип вырвал из натурального ряда несколько разных чисел и приставил их друг к другу, предоставивши судить об их дальнейшем взаимоотношении уже более конкретным принципам. И вот первое и простейшее, что может появиться с точки зрения диалектики, — это оставить их в такой взаимосопоставленности и только пробовать объединять или разъединять их по их смыслу, т. е. по их количественному содержанию. Отбросим эти числа как факты, как некоторые акты полагания, потому что по актам полагания, по их фактической положенности мы примем их в их непосредственном взаимоследовании. Но зато мы будем судить о них в таком раздельном, но непосредственно–смежном положении—об их различии и об их тождестве. И что тогда получится, какой тогда возникнет результат? Это отождествление или различение двух раздельных, но непосредственно–смежных становлений есть сложение или вычитание.

Во–вторых, совсем необязательно оставаться при таком взаимопротивопоставлении разных отрезков общечислового становления, да притом еще с таким внешнесубстанциальным противостоянием, когда оба они во всех смыслах чужды один другому и определенно отрицают один другого. Можно поставить вопрос: нельзя ли их сблизить между собою, нельзя ли их различать и отождествлять так, чтобы эти различения и отождествления относились не просто к их смыслу без всякого внимания к их несовместимости по факту, но так, чтобы этим затрагивалось и их фактическое существование, чтобы не только смысл их бытия, но и бытие их смысла стало в той или другой мере единым?

Диалектика знает много разных видов такого взаимопроникновения бытия и инобытия. Самое элементарное—это то, когда бытие просто повторяет себя в инобытии. Несомненно, это гораздо большая близость между бытием и инобытием, чем в том случае, когда они противостоят одно другому как несводимые друг на друга факты. Тут в инобытии, оказывается, уже нет ничего такого, чего не было бы в бытии, потому что единственная функция инобытия в таком случае— это повторять бытие, воспроизводить бытие. Ясно, что тут одних категорий тождества и различия будет мало. Тут надо реально перейти из бытия в инобытие, чтобы воспроизвестись в этом последнем. Тут нужны, очевидно, категории движения и покоя. И если в первом случае бытие и инобытие оказывались одно в отношении другого внешними, то тут, когда одно воплотилось на другом, они связаны уже внутреннеинобытийными связями. В том результате, который получен после воспроизведения бытия в инобытии, последнее стало для бытия чем–то внутренним, вошло в его плоть и кровь. Отождествление между бытием и инобытием стало тут не внешнеинобытийным, но внутреннеинобытийным. И вот это взаимоотношение нескольких становлений, когда они переходят друг в друга в порядке подвижного покоя, есть умножение и деление.

В–третьих, необходимо мыслить и еще дальнейшее, уже окончательное взаимопроникновение двух сопоставленных отрезков становления. В самом деле, функции рассмотренного нами инобытия ограничивались у нас только простым воспроизведением бытия; одно становление воспроизводило другое. Но не есть ли это умаление против инобытия? Ведь ясно, что в данном случае инобытие выступает только как некая фактическая сила воспроизведения чего–то другого, внешнего в отношении себя самой; и оно совсем не выступает здесь как конкретная индивидуальность, как некое смысловое содержание. Другое дело было бы, если бы оно так отождествилось с бытием, что вложило бы в него и мощь своего факта, т. е. воспроизвело бы его со всем его содержанием, и мощь своего смысла, т. е. вложило бы в воспроизводимое им Содержание бытия И свое собственное содержание. Это возможно только в том случае, если бытие будет воспроизводиться не вообще, ни в каждом отдельном своем Моменте, когда его целое будет присутствовать в инобытии не просто как единый неделимый факт, но когда оно будет содержаться и в каждом отдельном моменте его инобытийного тела, полученного им как раз от инобытия при своем воспроизведении в нем. Тогда инобытие будет участвовать здесь не просто как голый факт, но и все его содержание воспроизведет на себе некую целостность, неразрывную с воспроизводимым целым как таковым. Другими словами, из механизма оно станет организмом и тем спасет себя не как факт, но и как смысл и не как механический смысл, но и как живую материю. Это взаимоотношение нескольких разных становлений, когда они переходят друг в друга в порядке субстанциального отождествления, есть возведение в степень или извлечение корня.

Таковы принципы арифметических действий.

с) Наконец, рассмотрим реальную структуру арифметических действий или, точнее, принцип структуры арифметических действий. Только что мы рассматривали принцип арифметических действий как некоторых категорий диалектики. Но арифметическое действие, как мы сказали в п. 3, не есть только категория. Оно есть еще и определенная живая структура, живой образ. Спрашивается: каков же принцип построения этой структуры и этого образа?

Поскольку сейчас нам уже не надо выводить самих принципов арифметических действий (они уже выведены) и не надо, следовательно, фиксировать спецификум каждого отдельного действия, мы можем (и должны) применить здесь только нашу общедиалектическую схему всякой структуры вообще, и прежде всего числовой структуры (§ 31). Другими словами, каждое действие будет для нас каким–то бытием, переходящим в свое инобытие и забывающим себя в алогическом становлении, после чего оно вдруг прекращает свое беспредельное становление, останавливается, превращается в ставшее, и мы начинаем видеть его смысловые струи, изливающиеся на новое, теперь уже на всякое инобытие, т. е. начинаем видеть его образ, его выраженную форму, его энергийно–эманативный образ. Никакого иного принципа для структуры арифметического действия мы не знаем в настоящем исследовании, поскольку он был проведен еще в самом начале, в сфере первоначальных установок самого понятия числа вообще. Нет оснований менять его и для отдела об арифметических действиях.

5. Относительно арифметических действий надо особенно бояться традиционной математической самоуверенности. Действительно, что может быть проще сложения и вычитания, умножения и деления? Но эта–то простота и соблазняет. Думают, что тут и понимать–то нечего. Между тем проблема арифметических действий, я бы сказал, — одна из довольно тонких проблем диалектики. И приходится очень долго и очень мучительно размышлять» на разные лады, чтобы добиться ясной диалектической систематики в этой проблеме. Можно даже утверждать, что на таких–то проблемах, которые не загромождены никаким математическим аппаратом, легче всего проверять достоинства и недостатки применяемой у нас методологии. В математически сложных вещах еще можно сомневаться, достаточна или нет эта методология. Но там, где математика не представляет трудностей, а самая конструкция оказывается центральной по своей значимости (а таковы именно и есть арифметические действия), там яснее всего ценность или применимость данной методологии.

Перейдем теперь к самому предмету.

§ 116. Сложение и вычитание[913]

1. Сложение и вычитание характеризуются прежде всего равноправием моментов, из которых они состоят. В то время как, напр., в умножении существенной и основной темой является множимое, множитель же только повторяет множимое известное число раз и в результате появляется опять–таки прежнее же множимое, хотя и в несколько раз увеличенное, — в сложении и вычитании нет такого неравенства смыслового содержания чисел, и последние здесь существенно равноправны. Если сумма складывается, напр., из трех слагаемых, то все три слагаемые хотя и могут отличаться между собою чисто количественно, но это различие не идет дальше чистой количественности. Эти слагаемые как бы лежат на одной плоскости; и процесс сложения только в том и заключается, чтобы взять эти слагаемые вместе, взять в таком виде, как они даны, применивши к каждому из них совершенно одинаковый метод. В умножении множимое и множитель входят с совершенно различным смысловым содержанием; множитель обозначает совсем не то, что обозначает множимое, — помимо уже чисто количественного их различия. Точно так же и в вычитании операция над числами происходит как бы на одной и той же плоскости. Можно сколько угодно складывать и вычитать; и все прибавляемые и вычитаемые единицы будут совершенно равноправны по своему смысловому и оперативному содержанию. Другими словами, сложение и вычитание не переводят чисел в новое инобытие, новое—по сравнению с теми их элементами, которые уже даны с самого начала.

В сложении и вычитании дано только основное, внутричисловое (если иметь в виду сумму) инобытие, без которого не мог бы осуществиться и самый счет, а именно чисто количественное инобытие (хотя самые слагаемые одно в отношении другого внешнеинобытийны). Никакого другого инобытия не требуется для сложения и вычитания чисел. Поэтому если понимать число и счет, необходимый для числа, как тезис, то сложение и вычитание не переходят ни в какой антитезис; и вся картина разыгрывается в пределах счетного тезиса.

2. Что же происходит в пределах этого числового и счетного тезиса и что делается с этими равноправными числами, из которых составляется сумма или разность?

а) Ясно, что сложение и вычитание, равно как и все прочие действия, суть некоторые функции числового смысла, которые надо назвать силами, или энергиями. Сложение и вычитание есть прежде всего некий смысловой акт, активная направленность к определенному результату. В процессе складывания и вычитания мысль нечто активно полагает, активно разделяет и соединяет, суммирует. В этой активной напряженности сложение и вычитание ничем еще пока не отличаются от прочих действий, но с этого общего положения необходимо начать. Сложение и вычитание есть некая смысловая энергия. Точнее сказать, все арифметические действия суть не смысловая энергия, но смысловое становление, как это дедуцировано выше в проблеме натурального ряда. Однако становление в данном случае, как мы уже знаем, конструирует только самую категорию арифметических действий. Конкретное же выполненное действие, напр. решенная задача, есть уже такое становление, которое определенным образом стало и в этом своем ставшем виде определенным образом оформилось. Тут уже переход на ту ступень, которую в общей диалектике мы именуем смысловой энергией.

b) Какая же это смысловая энергия? Это не есть просто энергия счетной природы числа, ибо, сосчитывая единицы в числе, мы не нуждаемся в понятии плюса или минуса, равно как и суммы или разности. С другой стороны, смысловая энергия, рождающая счет, налична и во всех других действиях. Нельзя также сказать, что это есть энергия объединения или разъединения. В умножении, напр., безусловно содержится элемент объединения единиц, полученных в результате увеличения первоначально заданного множимого. Решительно во всякой числовой операции счет, а след., объединение и разъединение единиц содержится или в чистом виде, или в виде некоторой своей модификации. Какая же разница между простым пересчетом единиц, напр. в 10, и между складыванием 6+4=10?

c) Разница эта заключается в следующем. Когда мы просто считаем от 1 до 10, то, переходя от 6 к 7, мы совершенно не задаемся вопросом о том, можно ли присоединить к 6 еще одну единицу и перейти к 7. Необходимость и возможность этого перехода уже заранее обусловлена для нас самим понятием натурального ряда и понятием счета, который строится именно как постоянное и бесконечное увеличение любого числа на ту или иную единицу. Когда же мы складываем 6+4, то при переходе от 6 к 7 мы необходимо ставим вопрос: можно ли в данном случае переходить от 6 к 7 и далее? Если стоит плюс, то такой переход возможен; если же его нет, то мы еще не знаем, к какому числу надо переходить и надо ли вообще переходить. Итак, плюс есть смысловая энергия числа, впервые делающая возможным переход от одной единицы к следующей за ней, т. е. внешней по отношению к ней.

d) Но почему факт перехода делается возможным? Он делается возможным потому, что в сложении мы поставляем складываемые единицы на одной плоскости, приравниваем путь пересчета единиц внутри одного числа к пути пересчета единиц внутри другого числа, делая один путь продолжением другого пути, хотя они внешне–инобытийны один в отношении другого. Мы ничего не меняем в самих складываемых числах, ни в их количественном содержании, ни в какой бы то ни было другой их интерпретации. И все–таки нечто новое мы устанавливаем, когда решаемся в вышеуказанном примере от 6 перейти к 7, чтобы совершить операцию 6+4= 10. Если это новое не касается ни количественной стороны чисел, ни их общей интерпретации, то оно может касаться только места, взаимного положения этих чисел, а именно мы вдруг узнаём, что можно и нужно от 6 перейти к 7, от 7 к 8 и т. д. до 10. Но положение, или место, чего–нибудь не есть само это «чтонибудь». «Что–нибудь», или «нечто», находится «где–нибудь»; и чтобы находиться «где–нибудь», должно [быть] какое–нибудь иное, инобытие—в отношении того, что находится или помещается где–нибудь. Чтобы идти, должен быть путь, пространство, по которому можно было бы идти; и это пространство необходимо должно быть чем–то иным, а не самой вещью, движущейся по пространству, ибо иначе невозможно было бы и само движение. Стало быть, знак «плюс» указывает на отождествление инобытия, по которому движется одно слагаемое, с инобытием, по которому движется другое слагаемое.

e) Надо четко представлять характер функционирующего здесь инобытия. Инобытие налично как внутри самого числа, так и вне его. Есть ли то инобытие, которое необходимо сложению и вычитанию, внутри–числовое или вне–числовое? Когда мы складываем 6+4=10, то о каком инобытии идет речь, когда мы мыслим себе шестерку? Мы тут пересчитываем единицы внутри самой шестерки и не нуждаемся в том, чтобы всю шестерку помещать в какое–то новое инобытие. Новое [ино]бытие дается отдельно и притом внешне в отношении первого. Иначе будет в умножении, где множимое как раз берется в виде неделимого целого и повторяется в новом инобытии, которое есть нечто внешнее в отношении самого множимого. В сложении речь идет пока о внешнем сопряжении инобытия слагаемых. Сначала берется внутреннее инобытие шестерки, т. е. ее счетная составленность из шести разных единиц и необходимость перехода внутри нее от одной единицы к иной, а от этой иной еще к дальнейшей иной и т. д. вплоть до шести. Затем то же самое берется и относительно другого слагаемого—четверки. И наконец, — это и есть самое главное—одна инобытийность (та, которая внутри шестерки) приравнивается, в смысле именно внешней инобытийности, к другой (той, которая внутри четверки). Внешнее приравнение обоих инобытийностей и превращение их в единую инобытийную последовательность и есть сущность сложения и вычитания.

f) Во всем остальном сложение и вычитание ничем не отличаются от обыкновенного счета, как и самый счет ничем существенно не отличается от числа как такового. Иметь какое–нибудь число—значит считать в пределах этого числа. Основная функция числа есть функция разъединения и соединения, т. е. прежде всего счета. Поэтому число как число везде и всюду действует совершенно одинаково—разъединяя, различая и объединяя, отождествляя, т. е. прежде всего производя и обусловливая счетную сторону бытия. Поэтому можно не говорить специально о счетной функции числа в операциях сложения и вычитания, а достаточно просто говорить о чисто числовой функции, или о чисто смысловой функции числа.

3. Итак, сложение и вычитание есть функция числа в условиях внешнего взаимоотождествления его внутри–инобытийных элементов. Тут делается диалектически понятным и то «равноправие» слагаемых, с которого мы начали характеристику этих действий. «Равноправие» необходимо здесь именно потому, что оно–то и обусловливает собою взаимоприспособленность двух (или нескольких) инобытийных рядов, когда оказывается возможным объединить их в одну и целостную инобытийную последовательность. Однако это равноправие, по установленному нами выше принципу, не может мыслиться как нечто пассивное и неподвижное. Само число есть всегда смысловая энергия, ибо оно всегда есть акт различения и отождествления, разъединения и объединения отдельных элементов бытия; и невозможно мыслить пятерку без возможности и необходимости взаимоперехода одной единицы в другую в пределах этой пятерки. Но если число есть всегда смысловая энергия, то и его внутреннее инобытие, обусловливающее самую возможность счета, т. е. возможность самого числа, так же есть некоторая смысловая энергия. А поэтому и результат сложения и вычитания есть всегда результат смысловой энергии определенным образом функционирующего инобытия чисел.

4. а) Все эти рассуждения получат гораздо большую стройность и ясность, если мы применим к сложению и вычитанию тот структурный принцип, о котором говорилось в предыдущем параграфе, п. 4. Именно, каков принцип сложения и вычитания и как он структурно оформляется?

Принцип этот есть отождествление или различение нескольких раздельных, но в то же время непосредственно смежных становлений. Пусть это отождествление (различение) есть для нас некое самостоятельное бытие. Что это значит? Это значит, что мы приставляем, приделываем, как бы прикрепляем одно становление к другому. Было 6 единиц, и было 4 единицы. Теперь же мы приклеиваем становление 4 единиц к становлению 6 единиц. Это и есть бытие изучаемого отождествления.

Далее должно быть его инобытие. Это значит, что должен быть снят самый вопрос об отождествлении. Мы соединили конец одного становления с началом другого становления так, что получилось одно и единственное становление, и отныне мы уже забыли и о четверке, и о шестерке. Инобытие отождествления есть тот продукт отождествления, в котором уже невозможно различить отождествляемого.

Дальше мы—в сфере становления; это то, что открылось перед нами после отождествления. Мы должны теперь пройти по этому открывшемуся перед нами общему направлению. Мы должны начать считать полученные единицы, потому что счет и есть в данном случае становление. Но становление должно где–нибудь кончиться, завершиться, почерпаться, превратиться в ставшее. Ставшее, очевидно, есть сумма., самый результат сложения.

Но самый интересный вопрос в том, как же понимать выразительную форму сложения и вычитания. Что такое сложение и вычитание как выражение, как смысловая энергия, как эманация? С одной стороны, это должно быть чем–то самым основным, самым глубоким в сложении и вычитании, даже их источником; с другой стороны, оно должно быть чем–то максимально внешним, вышедшим наружу и силой, оформляющей и определяющей не только данный акт сложения или вычитания, ко и все вообще возможные случаи этих действий. Что же это за энергия и что за эманация? Это есть самый «плюс» или «минус», самая энергия складывания и вычитывания, — наиболее глубокое и принципиальное и наиболее внешнее, актуально определяющее в этих действиях. В этих категориях плюса и минуса арифметическое действие, именуемое сложением и вычитанием, достигает своей последней диалектической зрелости, и все логические категории, из которых сплетаются сложение и вычитание, тут максимально сконденсированы и заострены.

b) Называя энергию числа смысловой (чтобы не подумали здесь об электрической, тепловой и пр. энергиях) и относя отождествление к сложению, а различение к вычитанию, мы можем выставить следующие диалектические формулы обоих рассматриваемых действий.

Сложение есть смысловая энергия отождествления внешне–ннобытийных, но в то же время и непосредственно–смежных становлений.

Вычитание есть смысловая энергия различения внешне–инобытийных, но в то же время и непосредственно–смежных становлений.

c) Когда мы берем 6+4=10, то происходит внешне–инобытийное отождествление внутри–инобытийной последовательности шестерки (или просто—последовательности, пути последования внутри шестерки) с внутри–инобытийной последовательностью четверки. Когда же мы берем 10—4 = 6, то внутри десятки, или в плане внутри–инобытийной последовательности десятки, мы производим различение одной формы от другой, в данном случае—различение четверки и шестерки. В сложении энергия числа есть энергия перехода от различения к отождествлению внешне–числовых форм инобытия; в вычитании же энергия числа есть энергия перехода от отождествления к различению или, точнее, от отождествленного, самотождественного—к различенному, саморазличающемуся. Сложение стягивает разные куски инобытия, превращая их из внешних в единое внутреннее содержание числа, сплавляя их в один кусок и превращая несколько прямых линий становления в одну прямую; вычитание же разрывает цельное и самотождественное инобытие внутри числа, раскалывает его на отдельные куски, устанавливая, что одна форма отлична от другой в пределах этого инобытия.

В сложении и вычитании остается незыблемым само основание числа, тот экран, на котором выступают числа. Это как бы единый фон, на котором числа то появляются, то исчезают, в то время как самый фон остается незыблемым. Тут все числа глубоко индивидуальны и каждое имеет полнейшее право на свою индивидуальность. Сложение и вычитание есть пересчет всех единиц, входящих в разные слагаемые; и этот пересчет совершенно равноправен. С одинаковыми намерениями и с одинаковым заданием относится к единицам, входящим в отдельные слагаемые, тот, кто хочет сосчитать эти слагаемые. Сложение и вычитание обладают поэтому зрительной природой, т. е. тем свойством; когда субстанция самой вещи не меняется, а меняется только ее внешняя составленность, что й легко констатировать при помощи зрения. Тут мы фиксируем то, что происходит внутри идеи (суммы), появление и уничтожение отдельных ее элементов, но не задаемся вопросами о судьбе самой идеи, т. е. идеи, взятой в целом. Рамка и фон, экран и самое основание, субстанция складываемых и вычитаемых элементов остаются неизменными; и все действие сложения и вычитания есть как бы умственно зримая картина неподвижной вещи—суммы, внутри которой происходят те или иные различения или отождествления.

§ 117. Умножение и деление.

1. а) Совсем иначе обстоит дело в умножети и делении. Множимое и множитель, делимое и делитель различаются здесь не просто количественно, как могут различаться между собою слагаемые в сумме. Множимому и множителю принадлежат совершенно разные роли в общей операции умножения, как соответственно делимому с делителем. В сложении каждое слагаемое сохраняет свою индивидуальность, и роль всех слагаемых в общей сумме совершенно равноправная, кроме единственного—чисто количественного—различения. В умножении же свою полную индивидуальность сохраняет только множимое. Только о нем и идет тут разговор, и только о его судьбе и трактует умножение. Множитель здесь не имеет самостоятельного значения. Речь идет не о нем, но о множимом. Множитель только показывает, что случается или должно случиться с множимым.

b) Множитель—инобытие множимого не просто в количественном отношении, как, напр., 3 есть инобытие в отношении 2. Множитель не есть такая форма, которую мы отличили от всякой другой формы внутри данного числа. Такое простое отличение привело бы просто к фиксации того, что в десятке содержится, напр., шестерка и четверка, т. е. к операции сложения или вычитания. Множитель обозначает совсем другое.

c) Он, во–первых, не есть нечто просто внешнее или просто внутреннее в отношении множимого. Множимое есть цельная индивидуальность, и ни о каких ее внутренних различиях тут не ставится ровно никакого вопроса. Множитель указывает на судьбу всего множимого, множимого, взятого вне своих частей, как совершенно неделимая цельность. Стало быть, множитель не есть только внешнее инобытие множимого. Он указывает, что именно случится с множимым, когда оно остается внутренне неизменным, и что произойдет, если его поместить надлежащим образом в совершенно новую для него среду.

d) Во–вторых, как берется это внешнее инобытие, символизированное в виде множителя? Может быть, оно, оставаясь внешним, хотя бы в качестве внешнего мыслится здесь как равноправное с множимым? Нет, нисколько. В то время как множимое взято с полнотой своей индивидуальности, множитель указывает только, сколько раз взято это множимое со всей своей индивидуальностью. Индивидуальность самого множителя остается совершенно в тени, и он выступает только с своей скучной и формальной функцией быть вехой по пути движения множимого. Он берется только как чистое инобытие, ибо инобытие чего–нибудь, если оно берется в чистом виде, есть полная противоположность этого «чего–нибудь», т. е. полная противоположность его смысла, оно есть не смысл «чего–нибудь», а факт его. Факт, взятый в чистом виде, когда неизвестно, чего он факт, есть полная бессмыслица и противоположность смыслу. И реально факт осмысленный содержит в себе некий смысл, но зато он и не есть чистое инобытие смысла; это, наоборот, соединение и синтез смысла и инобытия смысла. Как действует множитель? Как осмысленное множимое или как его чистое инобытие?

Не может быть никакого сомнения в том, что ровно ничего не содержится во множителе из индивидуальности множимого и что множитель есть чистое инобытие множимого. Множитель есть факт множимого, суждение не о смысле множимого, но о его факте. Множитель показывает, сколько раз взято множимое, сколько раз оно положено, сколько фактов множимого желательно взять. Итак, в множимом число взято как полное и настоящее число, с полнотой своей индивидуальности, во множителе же взято число только в функции формального полагания, утверждения факта, и больше ни с какой стороны он не интересует операцию умножения.

2. Итак, множимое есть то, что в этой операции сохраняет полноту инобытийности, множитель же есть то, что лишь формально воспроизводит субстанцию множимого в иноприродной среде, в инобытии. Множитель есть форма инобытия, внешнего в отношении множимого. Если сложение есть такая энергия числа, которая сжимает и стягивает разные, но равноправные числовые индивидуальности в одну единую, нераздельную индивидуальность, то умножение есть такая числовая энергия, которая обладает силой воспроизводить одну и ту же числовую индивидуальность в среде, ее окружающей. В сложении речь идет о стольких индивидуальностях, сколько дано слагаемых; в умножении же речь идет только об одной индивидуальности, той, которая символизирована в множимом. Вычитание демонстрирует, что в одном числе возможны разные другие числа и что эти числа, будучи такимито, имеют все одинаковое право на существование и обладают каждое своей собственной индивидуальной природой. Деление же демонстрирует тот интересный факт, что данное число как некая определенная индивидуальность, если учесть тот путь, по которому оно развивалось, сводится к другому, более элементарному числу, являющемуся исходной точкой этого развития, той единственной и подлинной индивидуальностью, которая только и имеется тут в виду и которая претерпела ряд изменений с момента равенства частному до момента равенства делимому. Никакой другой числовой индивидуальности деление не знает.

Итак, в сложении и вычитании ударение лежит на числах, поскольку они даны в своем внутреннем инобытии и самостоятельны—при внешнем противостоянии (отсюда их равноправие), в умножении же и делении ударение лежит на числах, поскольку они даны во взаимновнешнем инобытии (отсюда существенное неравноправие множимого и множителя). Можно сказать и так, что если сложение и вычитание есть некий тезис, то умножение и деление есть антитезис. В первой паре операций мы имеем дело с внутренним инобытием и его внешним сопряжением, во второй—с внешним инобытием чисел, вступающих в некоторое внутреннее взаимоопределение, т. е. в условиях внутреннего роста одного из таких чисел. Еще можно сказать и так. Поскольку внутреннее инобытие числа и само число есть одно и то же (так как внутреннее содержание числа и есть само число), то в сложении и вычитании имеется в виду энергия числа самого по себе, взятого именно как число (если брать сумму); в умножении же и делении, где смысловое ударение переходит на внешнее инобытие, т. е. на число в его внешне — [ино ]бытийном воплощении и существовании, имеется в виду не энергия числа самого по себе, но энергия числа в его внешнем инобытии. В такой формулировке совершенно ясным становится то, что умножение и деление есть диалектический антитезис сложению и вычитанию.

3. В умножении происходит воспроизведение числа в окружающем его инобытии и отождествление воспроизведенных его форм, как и в сложении происходит отождествление различенных форм числа, хотя и различенных уже в другом смысле, не в смысле внешнего воспроизведения, но в смысле внешнего противоположения. В делении же происходит сведение данного числа к тому, в результате внешнего воспроизведения которого появилось данное число, и различение определенного количества этих воспроизведений. Не зная точного количества этих воспроизведений, нельзя было бы произвести и вышеуказанное сведение, как и в вычитании, не зная определенной формы различения в пределах данного числа, невозможно получить и самих различенных чисел, т. е. от уменьшаемого перейти к разности.

4. а) Произведя это общее описание действий умножения и деления, попробуем применить сюда структурный принцип § 115, п. 4.

Прежде всего, каков категориальный принцип этих действий? Раз у нас шла речь о воспроизведении числа в его инобытии, то ясно, что мы тут оперируем с категорией движения. Как только число двинется со своего места, так это и будет значить, что оно воспроизводится в своем инобытии. Но конечно, это не значит, что движение тут происходит без всякой остановки. Воспроизводясь в своем инобытии, число где–то и перестает воспроизводиться, и достигнутый результат становится стабильным. Поэтому выше мы и формулировали категориальный принцип обоих действий как такое взаимоотношение двух становлений, когда они переходят друг в друга в порядке категории подвижного покоя.

Теперь перейдем к структурному принципу. Что такое бытие упомянутого подвижного покоя двух или нескольких отрезков становления? Это есть самое воспроизведение множимого или дробление делимого. Что такое его инобытие? Это переход от процесса воспроизведения (или низведения) к воспроизведенному. Становление сосчитывает в нем единицы, а ставшее дает стабильный результат—произведение или частное. Выразительно–эманативная энергия умножения есть [знак] х, и она же деления есть [знак]:

b) Отсюда и формулы.

Умножение есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке подвижного покоя в целях взаимо–воспроизведения.

Деление есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке подвижного покоя в целях воспроизведения одного в пределах другого.

5. В сложении и вычитании все представители созерцаемого бытия даны в готовом виде, й мы только должны их фиксировать, созерцая, как они сплетаются или расплетаются в разные единства. В умножении й делении мы являемся свидетелями того, как рождается само число, как оно воспроизводится, как оно внутренно растет. Тут дано только одно число; и мы созерцаем, как оно переходит в инобытие и там, в этом инобытии, растет и увядает. В умножении не даются готовые числа, как в сложении. Наоборот, само умножение есть операция воспроизведения числа и его нового рождения. В умножении число выходит из самого себя, из своей чисто внутренней самораздельности и, забывая себя, свою внутреннюю раздельность, устремляется вдаль как целое, как таковое, в своей целостной субстанции, покамест внешнее инобытие, обусловившее этот переход, само же не поставит предела этому устремлению. Сложение и вычитание—пассивно–зрительны; они как бы картина вещи, умственное представление вещей. Умножение и деление активны. Эти операции не зрительны и не картинны, но активно–мускульны, они нечто утверждают, твердо полагают, устанавливают. В сложении и вычитании субстанции чисел мыслятся уже данными, их кто–то установил и формулировал, и остается только посмотреть картину их совместного существования. В умножении и делении дано только одно число, и больше ничего не дано; и мы не видим, а как бы мускульно осязаем напор и силу новых утверждений и полаганий этого числа и присутствуем при его первичном зарождении в инобытийной пустоте. В умножении и делении не остается незыблемой субстанция чисел, как в сложении и вычитании, не остается неподвижным тот экран и фон, на котором выступают фиксируемые нами числа.

Тут затрагивается судьба самой этой субстанции числа; и ставится вопрос о том, как она будет внутренно вести себя, если ее перевести со старого и привычного ее экрана на новый экран и на новый фон, во внешнее, совершенно чуждое ей инобытие. В сложении и вычитании числа лежат, как готовые шары на столе, и нужно только их пересчитать; в умножении же и делении дан только один шар и дано определенное количество материала (напр., дерева, глины и пр.), из которого можно сделать еще несколько таких шаров; и вот—мы делаем эти шары, тождественные с данным шаром; и уже потом сосчитываем все полученные шары, когда данный материал будет исчерпан. Там шары делали не мы, не тот, кто складывает и вычитает, и притом шары эти были совершенно разные, из разного материала и разной величины. Здесь же шары делаем именно мы, т. е. тот, кто умножает и делит; они создаются в процессе самой этой операции умножения и деления; и создаются они как точнейшая копия, и качественно и количественно, первоначального шара, так что здесь нужно говорить, собственно, не о разных шарах, но о воспроизведении одного и того же шара в данном (и притом количественно определенном данном) инобытийном материале. Это и значит, что умножение.и деление,есть энергия числа в его внешнетинобытййном существовании, отождествление и различение его внешне–инобытийных воспроизведений, но так, что при этом растет и убывает внутреннее содержание данного числа.

6. Можно в результате всего двояко формулировать диалектическую антитетику сложения и вычитания, с одной стороны, и умножения и деления—-с другой. Можно, во–первых, признать, что в первой паре арифметических действий даны внешне–инобытийные (в идейном смысле) друг в отношении друга числа, и ищется такое число, в котором они сливаются в одно внутренно–единое содержание и идею нового числа. Тогда умножение и деление будут предполагать одно и единственное число, которое будет так или иначе внутренно меняться в зависимости от его внешнего воспроизведения. Значит, в этом толковании антитезы сложение и вычитание есть нечто внутреннее, идея, а умножение и деление есть нечто внешнее, инобытие и факт, воспроизведение идеи.

Но можно, во–вторых, сложение и вычитание понимать как нечто фактически внешнее, упирая на внешнюю взаимо–инобытийность слагаемых. Тогда умножение и деление окажутся чем–то внутренним, поскольку речь идет тут о росте одного и того же (по факту) числа или об убыли (делении) одного и того же числа. По существу это—одна и та же антитеза, выраженная различно—только с разных точек зрения. В первом случае дано внутри–идейное различие (слагаемые) и оно исчезает в общем тождестве, также идейном (сумма), и тогда умножение и деление есть уже переход от идеи к факту, к инобытию идеи, к фактическому воспроизведению идеи. Во втором случае даются сначала внешне различные субстанции, факты и сливаются они в нечто единое, тоже фактическое (сумма), но тогда умножение и деление необходимо интерпретировать как идейное наполнение и убыль одной и той же субстанции.

Различие этих толкований ничего особенного собою не представляет. Раз в диалектике две категории связаны диалектическо–антиномически, то их всегда можно взаимно переставить. Если есть бытие и есть инобытие, то ровно ничего не изменится, если мы инобытие будем трактовать как бытие, а бытие—как инобытие.

§ 118. Возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование.

1. Всякая вещь есть некий факт, и всякая вещь имеет некий смысл, или идею. Она есть осмысленный факт и осуществленная идея. Если отнять у вещи факт, она превратится в чистую идею и, следовательно, перестанет существовать; и если отнять у вещи ее идею, смысл, она перестанет быть самой, собой и превратится в бессмысленный хаос неизвестно чего, т. е. тоже перестанет существовать. Конкретное бытие есть единство и тождество идеи и факта, сущности и явления, сознания и бытия. Эта элементарная диалектика должна быть применима и к числу, поскольку она применима решительно ко всякому виду и типу бытия. Предыдущие рассуждения показали нам, что в сложении и вычитании превалирует, скажем, идея и сущность, факт же и сущность, фактическая субстанция числа остается нетронутой, неподвижной; о ее судьбах ничего не слышно, и о ней не ставится никакого вопроса. В умножении и делении, наоборот, мы переходим в сферу явления, факта, субстанции, внешне–фактического инобытия, ибо как раз ставится вопрос о внешнем воспроизведении числа, о его инобытийной судьбе. Внешнее инобытие, или внешний материал, здесь появляется впервые, и пока ему даны только чисто инобытийные же, чисто материальные функции, функции внешне оформлять, воспроизводить, давать материал для воспроизведения. Отсюда вытекает два фундаментальных вывода.

a) Прежде всего, умножение и деление есть та функция числа, которая обусловливает собою и делает возможным фактическую природу всякого механизма. Механизм есть такое воплощение идеи в материи, материале, когда главным и основным остается сама идея в своей отвлеченности, а материал продолжает быть таким же мертвым материалом, каким он был и раньше, и его преобразует здесь только чисто внешняя новая организация. Механизм можно поэтому сломать и починить и можно любую его часть изъять и вставить обратно. Это возможно только потому, что инобытие идеи, материал, в котором она осуществлена, не вступает в механизме в полное отождествление с идеей, не пронизывается идеей и смыслом настолько, чтобы быть столь же неповторимым и оригинальным, как и сама идея. В механизме отдельные материальные части лишь внешне объединены, объединены схематически,, оставаясь внутренно вполне противоположными и даже несовместимыми. В умножении и делении данный представитель числового бытия механически воспроизводится; и потому множитель здесь и играет такую подсобную и чисто внешнюю, обозначительную роль. Правда, в умножении и делении мы уже переходим в бытие, в факт, в действительность, в сферу, где воспроизводится сама субстанция числа. Сложение и вычитание суть диалектический тезис, это—сама идея, о внешнем бытии и существовании которой еще не ставится никакого вопроса. Умножение и деление—диалектический антитезис, где на первый план выступает уже внешняя судьба числовой идеи, инобытие и фактическое осуществление числа, число как субстанция и действительность. Но вся эта инобытийная сфера дана здесь именно как только инобытийная, а так как чистое инобытие противоположно смыслу и само–то никакого смысла в себе не содержит, а живет только воспроизведением того смысла и идеи, в отражении которых она и есть инобытие, то в умножении и делении мы находим лишь механическое, схематическое действие инобытия, когда конкретно данным остается только сама первоначальная идея, т. е. в данном случае множимое (произведение) и делимое (частное), а инобытие лишь внешне и буквально повторяет эту изначальную данность.

b) И далее сама собой напрашивается мысль о таком объединении идеи и материи, числа и его внешнего инобытия, где материя и инобытие перестало бы быть только чем–то внешне организованным и оформленным, где произошел бы полный синтез числа как идеи и числа как инобытия и где в результате этого синтеза появился бы не механизм, но организм. Во всяком механизме лежит в основе презрение к материи и уничижение ее. Механизм есть не возвеличение и увенчание материи, но ее преуменьшение и принижение, поскольку любая часть механизма в любую минуту может быть изъята из целого и заменена другой. Тут, значит, все дело не в материи, не в теле, а во внешней и отвлеченной схеме, которую можно осуществить на любом материале и из любого куска данного рода тела. Не то в организме. Организм есть прежде всего уважение к телу и материи, внимательное и субтильное отношение к этому «внешнему» и «случайному». В организме нельзя заменять по произволу одни части другими; и это потому, что тут важна не только осуществившаяся в организме идея, но и тот телесный материал, на котором осуществилась эта идея, так что определенные части этого материального организма оказываются уже столь же неповторимыми, индивидуальными, ни на что другое не сводимыми и подлинно, субстанциально оригинальными, как и сама идея.

Вот почему если идея есть тезис, а механизм есть ее чисто инобытийное осуществление, антитезис, то организм есть синтез идеи с ее инобытием, тот синтез, где уже нельзя различать идею и факт, поскольку в организме не только идея дана чисто материально (так что она уже не просто отвлеченная схема, которую можно механически воспроизвести сколько угодно раз на любом материале), но и материя дана чисто идеально (так что она или по крайней мере некоторые ее моменты так же неповторимы и неразъединимы, как и сама идея). Следовательно, возвращаясь к числу, мы должны ожидать, что среди операций числа находятся не только те, где осуществляется чисто идейная («зрительная») энергия числа, и не только те, где осуществляется механическая энергия числа, т. е. где число порождает субстанцию механизма, но и такие операции, в которых энергия чисел приводит к появлению организма, где число дано как организм, где самый смысл числовой операции есть не что иное, как числовой эквивалент органической жизни. Такими операциями и являются возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование (хотя логарифм есть трансцедентная функция и вычисляется методом интегрального исчисления). Тайна их заключается в том, что они на чисто числовом языке повествуют о жизни и судьбе органических экземпляров бытия, организмов как таковых.

2. Существенным моментом операций возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования (поскольку о последнем можно говорить в арифметике) в отличие от умножения и деления является то, что тут нет механического повторения первоначально данного числа. Когда мы имеем, напр., 34=81, то здесь процесс мысли идет вовсе не в том направлении, чтобы одну и ту же тройку повторять и воспроизводить столько раз, чтобы в результате получилось 81. Разумеется, поскольку математика есть вообще чисто формальная дисциплина в том смысле, что она оперирует только с числами (а числа по природе своей отвлеченны и применимы к любому содержанию бытия), постольку в ней не сразу можно определить ту не формальную, а чисто содержательную и конкретную операцию, отвлечением от которой получилась данная математическая операция. Часто бывает очень трудно найти то исходное опытно–конкретное содержание, которое переведено на абстрактный числовой язык. Также загадочны и операции возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования; и одно из обычных утверждений математиков гласит, что возведение в степень есть лишь частный случай умножения, как само умножение есть частный случай сложения, когда даны равные по количеству сомножители или слагаемые. Это утверждение грешит логическим формализмом, и оно правильно лишь в чисто счетном смысле. Разумеется, возвести 3 в четвертую степень—это все равно что дать произведение четырех троек или сумму двадцати семи троек. Но это не значит, что по логическому й диалектическому смыслу указанные три действия есть не больше как умножение и деление или сложение и вычитание. Тут есть тонкий оттенок, который всегда будет тонким и субтильным потому, что везде Мы имеем здесь дело с чисто числовым языком, который, исключивши из себя всякое смысловое содержание, кроме числового, конечно, сплошь и рядом превратился в настоящую загадку. В чем же отличие возведения в степень от умножения и извлечения корня от деления?

b) Что тут есть также некое воспроизведение первоначального числа в его субстанции, это очевидно. В этом полное сходство возведения в степень с умножением и извлечения корня—с делением. Там и здесь происходит зарождение числа во внешнем инобытии; там и здесь речь идет об алогическом воспроизведении числа на внешнем материале. Но в то время как в умножении множимое механически повторяется определенное число раз, в операции возведения в степень мы видим, что инобытие, охарактеризованное в умножении множителем, а в возведении в степень—показателем степени, всасывает первоначальное число во все свои поры и отождествляется с ним во всех пунктах. Оно не просто воспроизвело его 4 раза, как это было бы в умножении (3 + 3 + 3 + 3), но заставило каждую такую тройку еще раз перейти в себя, т. е. в инобытие, еще раз помножить 3 на 3 относительно каждой из четырех троек. Инобытие здесь проявило себя в каждом отдельном элементе, заставивши первоначальное число воспроизвести себя самого и как бы отразиться в самом себе, в каждом из своих моментов. Возведение в степень есть та энергия числа, которая заставляет любую вещь алогически воспроизвести себя не просто вовне, но в каждом из своих основных элементов, и притом воспроизвести целиком и без остатка.

В умножении субстанция множимого не раскрывается, не развертывается, не расцветает; она тут только воспроизводится при помощи механического повторения. Возведение в степень проникает в глубь первоначального числа, в каждый отдельный его атом, и в этом атоме воспроизводит первоначальное число целиком. 34= 81—это суждение значит: первоначальная тройка берется четыре раза, но берется не просто как таковая, но предварительно каждая из этих четырех троек воспроизводит себя самое. Возведение в степень есть сила, заставляющая число воспроизводить себя самого, и притом определенное число раз. В умножении множитель может сколько угодно отличаться от множимого, он—только знак его внешнего повторения. При возведении же в степень «множитель^ мыслится всегда одним и тем же, а именно он и есть тут само множимое. Не то что какое–то внешнее инобытие тянет изначально данное число к повторению и воспроизведению, но само же число, само это первоначальное число порождает и воспроизводит себя самого. Тут не внешнее воспроизведение на прежнем материале, но внутреннее самовоспроизведение и притом на своем же собственном материале.

с) В этом и заключается сущность организма в отличие от механизма. Организм растет сам из себя, своими силами, и внешнее инобытие нужно ему только как материал, перерабатываемый им до полного с ним отождествления. В организме—синтез и отождествление внутреннего и внешнего; и на операциях возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования это становится вполне понятным. Когда число возводится в степень, оно, во–первых, воспроизводится; стало быть, тут играет роль какое–то внешнее инобытие. Но, во–вторых, оказывается, что воспроизводится оно по своему собственному закону т. е. по закону, лежащему внутри него самого, так как если брать прежний пример, то здесь каждая тройка множится сама на себя, т. е. воспроизводит сама себя. Следовательно, внешнее инобытие, констатированное нами в целях воспроизведения, оказалось водвинутым внутрь самой тройки; и это не просто внутреннее инобытие, которое может породить только операцию сложения и вычитания. Это—именно сразу и внутреннее и внешнее инобытие числа, та их встреча, где они отождествились и слились в одно нераздельное целое. Инобытие указало здесь не количество механических воспроизведений числа, но тот предел, до которого органически растет первоначально заданное число.

3. а) Возведение в степень на числовом языке выражает рост организма не в том переносном смысле, как можно говорить о росте числа в процессе умножения, но в том буквальном смысле, который присущ только живому и алогически саморазвивающемуся организму. Организм в процессе своего роста как бы возводит себя в ту или тую степень. Организм характерен именно тем, что в каждом своем отдельном моменте он повторяет себя самого, т. е. он всегда целиком в алогическом инобытии, а рост организма заключается в том, что это повторение идет непрестанно вперед, так что сначала весь организм воплощается в каждом своем моменте, потом организм, заключенный в каждом отдельном своем моменте, воплощается в более мелких моментах, т. е. в моментах этого момента, и т. д. и т. д. Идет все растущая вперед детализация организма, и в каждой более мелкой детали воплощается более крупная деталь организма; и, таким образом, весь организм многократно повторяется сам в себе, вбирая в себя внешнее инобытие и постоянно и неизменно подчиняя его себе, отождествляя его с собою и употребляя на построение все более и более мелкие детали, которые в свою очередь расширяются дальше, повторяя на себе организм в целом. С другой стороны, и само алогическое инобытие не остается здесь чем–то внешним и чуждым, но становится органическим телом растущего целого. Это и есть рост организма, и элементарное математическое выражение его есть возведение в степень.

Ъ) Надо всегда помнить при анализе математических положений, что математика раз навсегда исключает всякую вещественную качественность и превращает бытие в чисто формальное количество, когда уже не важно, о количестве чего именно, о количестве каких именно вещей идет речь. Тут важно само количество, количество как таковое. Однако, отделивши число от вещественной качественности, математика фиксирует качественные моменты в самом числе; и это, конечно, не вещественно–качественные, но чисто числовые качественные моменты. Эта математическая, или числовая, качественность возникает сама собой, как только мы задаемся вопросом структуры тех или других математических операций или формул.

И вот, если мы возьмем организм, возьмем организм в процессе его роста и заметим себе четко, что организм в отличие от механизма существенно зависит от своего тела (ввиду полного отождествления его материи, материала, с его внутренней идеей, или смыслом) и тело это тем самым повторяет идею цельно в каждом отдельном моменте, то что получается из всей этой конструкции, если мы исключим все содержательные моменты и оставим только моменты числовые, количественные и метод опять–таки не содержательный, но чисто формальный— метод последования этих числовых моментов? Мы забудем, что здесь идет речь об организме, а будем знать, что числа, здесь употребленные, касаются решительно всего и ничего в особенности. Мы забудем, что тут происходит именно рост организма. Наконец, мы забудем даже, что вообще есть на свете такое бытие, как органическое, и что [последнее] чем–нибудь отличается от бытия механического и всякого иного. Однако, становясь на чисто формальную точку зрения, мы не можем забыть здесь следующих трех вещей.

Во–первых, рост организма есть некоторое увеличение. Это во всяком случае момент не–качественный, не–содержательный, чисто формальный, и мы его обязаны оставить на месте.

Во–вторых, как происходит это увеличение и в каком направлении оно движется? Конечно, по принятому условию мы уже не можем сказать, что тут происходит выявление организма в деталях, его развертывание и живая жизнь. Мы оставляем из этой картины только тот чисто формальный момент, что каждая точка органического роста повторяет организм в целом, неразрывна с ним и неотъединима от него. Математически это значит только то, что, скажем, тройка повторяется в каждой своей единице полностью и целиком, так что получается не просто три единицы, как раньше, но три тройки. Это и значит, что тройка воспроизвела себя в каждом своем отдельном моменте. Тут забыта идея организма, но зато это не биология, а математика, и на своем—математическом—языке математика вполне точно выразила идею роста организма. Тут произошел перевод с языка биологического на язык математический.

Наконец, в–третьих, мы не можем забыть, оставаясь на формальноматематической позиции, и того конечного момента, до которого происходит или отмечается рост организма. Раз дано увеличение, то естественно спросить, до каких размеров доходит это увеличение. Это— тоже математика. И вот, понимая эту мысль чисто математически, мы опять должны наше суждение о пределе роста организма трактовать как суждение о том, сколько раз организм повторил себя самого в себе самом, сколько раз эта тройка отразилась сама в себе. Об этом и трактует т. н. показатель степени. Если есть тройка и мы заставили ее еще раз повториться, и повториться в каждом ее отдельном моменте, мы получаем показатель 2. Эта двойка указывает на то, что первоначальная тройка есть, во–первых, нечто само по себе, а во–вторых, она повторила себя в себе же. Показатель 3 указывает, что кроме основной тройки мы имеем первое повторение тройки в самой себе и еще второе повторение. И т. д. Без этого суждения о размерах роста, конечно, не было бы точного представления о нем самом и, след., о самом организме.

Так происходит перевод идеи органического роста на язык чисел. В числовом отношении это есть только возведение в степень.

с) Какое отличие возведения в степень от извлечения корня? Возведение в степень есть символ органического роста; извлечение же корня, очевидно, низводит нас от законченной формы развития к форме первоначальной. Тут происходит действительно некое извлечение корня в буквальном смысле слова; и мы, имея какой–нибудь растущий в земле цветок, как бы хотим узнать, из какого своего основания растет этот цветок, и вынимаем из земли его корешок, чтобы убедиться воочию в существовании этого основания и узнать его свойства. Какая категория действует в извлечении корня по сравнению с возведением в степень?

И там и здесь идет речь об органической жизни, и только в одном случае мы движемся от корня к стволу и завершительным формам, в другом же — от этих последних к корню. Движение органического роста одинаково характерно для обоих действий. Но как охарактеризовать не описательно, а чисто логически, и притом точно, разницу этих двух типов движения органического развития? Когда тройка возводится, скажем, в четвертую степень, то, как мы уже знаем, это приводит к тому, что тройка четыре раза повторит себя саму в своих отдельных единицах. Почти то же самое происходит и при извлечении корня. Но совершенно ясно, что для получения именно степени, а не корня необходимо сосчитать, суммировать все получившиеся от этой операции тройки, т. е. отождествить всех их в одно нераздельное и совершенно единое, даже единичное целое. Для получения же корня, в случае, скажем, извлечения корня четвертой степени из 81, надо, наоборот, в этом общем процессе органического развития отделить от всего целого то основное, что именно было взято для целей развития, отличить его от всего целого. Возводя в степень, мы отождествляем все тройки в одно целое, как бы вытягиваем их в одну однообразную линию 81 точки, в то время как при извлечении корня мы отвлекаемся от целого и стремимся, наоборот, к выделению из 81 основной тройки и к фиксации ее именно β отличие от 81. Итак, разница между возведением в степень и извлечением корня заключается в том, что в первом случае мы стремимся к органическому целому, явившемуся в результате развития и отождествления всех отдельных моментов этого развития в одном целом, в другом же случае мы стремимся от органического целого, явившегося в результате развития, к отличению отдельных моментов, из которых состоит это развитие, и прежде всего к фиксации и точному отличению того единственного и первоначального основания, из которого шло изучаемое развитие.

Ясно также и то, что логарифмирование, поскольку это есть операция нахождения степени, имеет целью фиксировать в общем процессе органического развития не начало этого развития (как извлечение корня) и не конец этого развития (как при возведении в степень), но то, что происходит между началом и концом. Что же именно тут происходит? Происходит самый рост, процесс роста. Но его необходимо формулировать математически, т. е. перевести на формальный язык чисел. Но что такое органический рост, если его понимать чисто количественно, а не содержательно? Рост есть непрестанное самовоспроизведение. То, что это есть именно самовоспроизведение, это уже зафиксировано в предыдущих моментах нашего анализа роста, равно как и то, что это есть именно самовоспроизведение. Но что же тогда остается в росте? Остается только метод этого самовоспроизведения, закон самовоспроизведения. Ни «самость» и ни «воспроизводимость» не характерны для логарифмирования; вернее, эти категории характерны, для него в той же мере, как и для возведения в степень, и для извлечения корня. Для логарифмирования характерен именно закон развития, не органическое развитие как таковое, но его методический принцип. Этот принцип показывает, что именно должно случиться с организмом и до каких пределов мыслится его развитие. Но по основной и неизбежной формальности числового языка математика и этот закон может выразить только количественно, т. е. она может только указать, сколько раз произойдет самовоспроизведение первоначального организма. Это и будет т. н. показатель степени, а самая операция нахождения степени основания по данному основанию и данному конечному количеству развитого основания и будет логарифмированием. Следовательно, если в основе возведения в степень лежит категория отождествления отдельных элементов в целое, а в основе извлечения корня—различение отдельных элементов на фоне целостного результата органического роста, то в основе логарифмирования лежит изучение движения этого развития и не столько самого движения, сколько устойчивого закона этого движения, т. е. движения, данного в аспекте твердой и покоящейся формы этого движения, — иными словами, в аспекте подвижного покоя органического развития.

d) Не забудем, однако, что природа числа противостоит природе вещи как чисто смысловая конструкция, что действие чисел, изучаемое здесь, есть действие чисто смысловое, смысловая энергия числа, что имеется здесь в виду смысловая картина органического развития, а не вещественный его коррелят, не механическая копия. И, давая определение рассмотренным действиям, тут в особенности не забудем ввести это обстоятельство в формулу.

4. а) Применим в целях большей компактности изложения вьппесформулированные (§ 115, п. 4) категориальный и структурный принципы рассматриваемых действий.

Мы знаем из общей теории числа (§ 27) о пяти основных внутриэйдетических категориях числа (бытие, самотождественное различие и подвижной покой). Последние две мы уже исчерпали для конструирования первых четырех арифметических действий. Остается «бытие». Это бытие, как мы знаем из той же общей теории числа, есть то, чем число является, «что» числа, его смысл, его индивидуально–смысловое содержание, его, если угодно, эйдос. Оно противостоит инобытию, и, когда оно в этом последнем воплощается, оно становится субстанцией. В сложении числа брались только в своем смысловом (внещне–инобытийном) содержании. В умножении числа берутся так, что одно воспроизводится на другом по своему факту, берется инобытийно по своему факту (откуда и внутреннее объединение с этим инобытием). В возведении в степень, наконец, одно число воспроизводится в другом и по своему факту, и по своему смыслу—короче говоря, по своей субстанции (так что возникает синтетическое внутренно–внешнее воспроизведение). Поэтому мы и формулировали в § 115 п. 4 категориальный принцип рассматриваемых действий как взаимоотношение становлений, переходящих друг в друга в порядке субстанциального самоотождествления.

Бытие этого субстанциального самоотождествления есть соответствующий рост числа согласно показателю его степени. Инобытие приносит с собою новое число (самую степень), в котором мы, согласно становлению, сосчитываем полученные единицы, а согласно со ставшим получаем самую степень. Выразительно–эманативная энергия соответствующих действий фиксируется в знаках показателя, радикала (у/~) и логарифма (log).

b) Но прежде чем дать формулы и применить то, что в предыдущем пункте этого параграфа мы сказали раздельно о трех изучаемых действиях, мы должны учесть то, что «бытие», о котором мы здесь говорим как о последней из пяти внутри–эйдетических категорий, может быть рассматриваемо и само по себе, и в совокупности как с самотождественным различием, так и с подвижным покоем. Это и дает возможность ясно представить себе диалектическое содержание трех рассматриваемых действий.

Возведение в степень есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке субстанциального отождествления.

Извлечение корня есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке субстанциального различения.

Логарифмирование (поскольку о нем может идти речь в арифметике) есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке самотождественного различия и образующих ц результате подвижной покой.

Можно говорить и иначе.

Возведение в степень есть смысловая энергия числа, функционирующего в аспекте отождествления его внутренно–внешних ннобытийных воспроизведений.

Извлечение корня есть смысловая энергия числа, функционирующего в аспекте различия его внутренно–внешних ннобытийных воспроизведений.

Логарифмирование есть смысловая энергия числа, функционирующего в аспекте подвижного покоя его внутренно–внешних ннобытийных воспроизведений.

5. Заметим, что категория подвижного покоя, выступающая в логарифмировании, вполне налична, собственно говоря, также и в отношет нии первых двух пар арифметических операций. Однако невозможно придумать новой операции подвижного покоя в отношении сложения и вычитания, потому что здесь эта операция вполне совпадает технически с основными действиями. Если бы мы захотели получить не только отождествление отдельных чисел в одной их сумме и не только различение какого–нибудь числа на фоне общей суммы чисел, но еще и найти закон движения этого отождествления и различения, то мы должны были бы просто сказать, что в качестве такого закона действует само же сложение или вычитание. Технически эти операции вполне совпадают, хотя логически они вполне различны. Найти закон составления суммы или разности—значит точно зафиксировать количество и характер слагаемых или уменьшаемого и вычитаемого. Это же относится и ко второй паре—умножению и делению. И только в отношении к третьей паре арифметических операций оказывается целесообразным выделить нахождение закона движения в особую операцию, и только тут для особой логической категории (подвижной покой) возникает и особый технический коррелят (логарифмирование)[914].

§ 119. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Диалектика простейших арифметических действий—очень тонкая вещь. Тут нагромождена масса логических категорий, которые с трудом поддаются анализу. Повторим еще раз вышеприведенную схематику, чтобы не оставалось никакой неясности.

a) Нужно прежде всего твердо держать в памяти то, что было сказано в § 115, п. 4 о перво–принципе арифметических действий, о категориальном принципе и о структурном принципе. Из них проще первый и третий. Первый появляется как синтез категорий натурального ряда и типологии. Третий воспроизводит лишь схематику общей теории числа. Более запутанный второй принцип, категориальный.

b) Тут сложная игра категорий. Пять обыкновенных внутри–эйдетических категорий пляшут тут далеко не сразу понятный балет. Чтобы не сбиваться с четкого диалектического пути, скажем прежде всего, что все эти пять категорий, конструирующие вообще всякий эйдос, обязательно участвуют решительно в каждом арифметическом действии. И следовательно, вопрос может ставиться только о том, как они тут участвуют, в каком порядке и в каком взаимоподчинении. Если говорить об основной, о главной, о центральной и превалирующей роли, то необходимо сказать, что первая пара стоит под самотождественным различием, вторая—под подвижным покоем и третья—под бытием (или «субстанцией»). Это видно из того, что в первой паре мы имеем дело с равноправными элементами, которые так и остаются в своем равноправии, входя без всякого изменения в сумму (или разность). Тут, стало быть, можно только их различать и потом отождествлять в одну непрерывную линию становления. Во второй паре множимое, несомненно, движется, раз оно воспроизводится; и в третьей паре, несомненно, речь идет о воспроизведении, но уже о всецелом, о воспроизведении в каждом отдельном моменте воспроизводимого, т. е. о субстанциальном росте.

Итак, превалируют и, так сказать, «задают тон» самой категории каждого действия именно эти категории. Однако тут же участвуют и все прочие категории, но уже подчиненно. В § 117, п. 5 мы указали, что подвижной покой есть и в первой паре, но он не дает тут особенно значительного результата, отдельно от того, что дает самотождественное различие. Так же не было особенного смысла вводить в §«115, п. 4 в определение второй пары категорию самотождественного различия, хотя внимательный читатель, несомненно, заметил, что прибавки в конце формулы умножения «в целях взаимовоспроизведения» и в конце формулы деления «в целях воспроизведения одного в пределах другого» содержат в себе если не прямо указание на эту категорию, то на известное ее частичное функционирование. Наконец, в третьей паре действий и в логарифмировании уже ясно выступает то, как при центральности одной из пяти категорий имеют важное значение и все другие.

c) Метод пяти внутри–эйдетических категорий—это только один из возможных подходов к арифметическим действиям. Другой подход, использованный нами, заключается в использовании инобытийной характеристики. Дело в том, что инобытие есть начало различия, и, внося то или другое инобытие, мы вносим в предмет те или иные различия, т. е. так или иначе рисуем и спецификум интересующих нас категорий. Здесь нужно обратить особое внимание (чтобы не запутаться) на наше замечание в § 118, п. 6.

Первую пару арифметических действий мы можем представить как арену внешнего инобытия чисел. Понимаем мы под этим то, что слагаемые, будучи равноправными моментами суммы, не превращаются одно в другое, а продолжают оставаться внешними одно в отношении другого даже тогда, когда мы, объединивши их в целую сумму, начинаем пересчитывать все заключающиеся в них единицы. Обратное этому имеем мы в умножении. Здесь множимое и множитель существенно неравноправны, так как растет именно множимое, а множитель только определяет размеры этого роста. Результат же этого роста такой, что множимое и его инобытие—множитель, будучи внешними одно в отношении другого ровно так же, как слагаемые в сумме, оказываются в результате умножения, в т. н. произведении, уже внутренно объединенными, настолько внутренно, что уже гораздо труднее их различать в этом общем произведении. Наконец, в § 118, п. 6 мы доказываем, что остальные три арифметических действия связаны с объединенным инобытием, с инобытием внутренно–внешним.

d) Наконец, третий подход, использованный нами в диалектике арифметических действий, пользуется терминологией «смысл», «факт» и «осмысленный факт». В первой паре действий речи нет о «фактическом» распространении входящих сюда элементов. Слагаемые берутся тут только с точки зрения своего смыслового, т. е. непосредственноколичественного содержания. Во второй паре существенно, наоборот, воспроизведение одного другим, т. е. существенен факт, ибо то, что воспроизводит смысловую структуру, есть именно факт. Остальные три действия сливают значащий смысл и воспроизводящий факт в одно синтетическое обстояние, являющееся числовым дублером понятия организма.

e) Наконец, не исключена, конечно, возможность и многих других диалектических подходов к арифметическим действиям. Едва ли, однако, они будут проще—ввиду большой сложности и переплетенности категорий, входящих в состав этих действий.

f) Нижеследующая схема облегчит усвоение предложенной диалектики действий.

тождествосложениеумножениевозведение в ст[епень]различиевычитаниеделениеизвлечение корнйподв. покойлогарифмированиеперво–принцип =разнокомбинируемое становлениесамотожд. различие внешнее иноб [ы*ие] «смысл»подвижн[ой] покойбытие (субстанция)внутреннее]внутр [енно ] — внеш [нее ] иноб [ытие]иноб[ытие]«осмысл [енный ] факт»«факт»

2. Важно также отдавать себе правильный отчет в истинном смысле синтезирования натурального ряда и типологии при помощи арифметических действий. Последние развертывают те логические возможности, которые кроются в каждом отдельном числовом типе. Если мы вспомним нашу теорию типов числа, то нам постоянно приходилось для пояснения того или другого типа прибегать к арифметическим действиям. Строго говоря, это было совершенно необязательно, так как мы должны были дедуцировать типы числа как некоторые логические категории и для этого вовсе не нужно входить во все те фактические модификации натурального ряда, во все те действия, которые приводят к тем или другим типам. Но зато все эти фактические вычисления обязательны теперь, когда мы рассматриваем самые действия. И мы видим, что синтез типов с натуральным рядом, т. е. рассмотрение типов с точки зрения становящегося счета, с точки зрения процессов счета, ведет уже к фактическим вычислениям, порождающим один тип числа из другого, т. е., попросту говоря, ведет к арифметическим операциям. Типы числа суть неразвернутые арифметические операции, так же как и эти последние суть фактически развернутые числовые типы. Развертывание числового типа в целое действие, очевидно, есть результат применения к типу методов счета. А счет есть прежде всего натуральный ряд чисел.

3. Важно также чувствовать энергийный, или, если угодно, силовой, характер арифметических действий. Это тоже дар натурального ряда. Типы сами по себе стабильны—так сказать, мертвы. Они неподвижно покоятся перед нами наподобие раз навсегда скомбинированных понятий или вещей. Арифметические же действия суть некоторого рода силы, смысловые силы и заряды, которые не покоятся на месте, но сущность которых состоит в излиянии силы. Это потому, что тут действует мощь натурального ряда, прямо или косвенно содержащаяся в каждом арифметическом действии. Потому «плюс» (+) есть именно некоторого рода смысловая энергия, энергия стягивания разных становлений в одно, единонаправленное становление. Потому радикал (√) есть смысловая энергия, энергия субстанциального роста одного становления в другом. И т. д. Этой энергийности не было в числовой типологии и не будет в комбинаторно–матричном исчислении.

4. Важно упомянуть здесь еще о трех законах арифметических действий—ассоциативном, коммутативном и дистрибутивном. Прежде всего необходимо ясно понимать, что сами действия от этих законов совершенно не зависят. Раз коммутативный закон, напр., в одних случаях применим к умножению, в других неприменим, то ясно, что о самом умножении нужно говорить вне всякой зависимости его от закона коммутативности. Так мы и делали. Сначала нужно было вывести самые действия, а потом уже говорить об их необязательных законах.

Что же касается теперь самих этих законов, то они возникают на ниве дальнейшего углубления самой категории становления, из которой появились и самые действия. Именно, когда мы говорим о самих действиях, мы, в сущности говоря, рассматриваем голое становление с точки зрения не становящихся, т. е. смысловых, т. е. внутри–эйдетических, категорий. Или, точнее говоря, мы рассматриваем здесь эти последние с точки зрения их раздельного воплощения и становления. Но ничто не мешает нам идти и дальше. Уже получивши данное действие, мы можем внутри него наблюдать разные становления, т. е. разные направления действия. Для этого придется самое действие считать уже не становящимся, а чем–то устойчивым, ставшим и в его пределах судить о значимости отдельных направлений счета. Так мы и произвели дедукцию трех законов счета в § 65, к которому и надо отослать забывчивого читателя. Если все действия и все законы счета in nuce[915]заложены уже в типе числа, т. е. на стадии идеальной единораздельности числа, то сфера становления развернет эти действия во всей их конкретной структуре, а сфера ставшего развернет и все законы счета, применимые в этих действиях.

5. Теперь мы и у новой грани. Арифметические действия нами изучены. Получены они как синтез натурального ряда, или счета, и числовой типологии. Числовой тип погрузился в становление, в счетность, и мы увидели, из каких действий счета он состоит. Но мы могли бы это становление интенсифицировать и дальше. И если бы мы это сделали, мы заметили бы, что новое становление уходит уже не на конструирование арифметического действия, а уходит на что–то другое. А именно, поскольку самое–то действие уже конструировано и его энергийная природа оформлена, дальнейшее становление может наброситься только на самое же действие, на его смысловую субстанцию, на самую его категорию. Это значит, что арифметическое действие перестанет существовать как таковое, а перейдет в свое отрицание, в свое инобытие. Оно распадется, и вместо того становления, из которого оно вырастало, оно создаст распавшееся становление, принципиальйо превратится в устойчиво–ставшее. Но это будет значить, что арифметические действия превратятся в комбинаторно–матричное исчисление.