Родился в Ярославле. Обучался игре на скрипке в детской музыкальной школе № 1 в Ярославле. Одним из первых крупных музыкальных впечатлений в жизни юного Баснера стало исполнение в Ярославле в 1938 г. Пятой симфонии Дмитрия Шостаковича. По окончании Ярославского музыкального училища в 1942 г. Баснер был приглашен в Ярославскую филармонию в качестве солиста, но уже через год был призван в армию, где служил в военном оркестре аранжировщиком, а также ремонтировал музыкальные инструменты. В 1944 г. Баснера демобилизовали, и он поступил в ЛГК имени Н. А. Римского-Корсакова по классу скрипки и композиции. Окончив консерваторию в 1949 г., он начал выступать как солист и оркестровый музыкант. В 1955 г. Баснер стал членом ЛО СК СССР и возглавил в нем комиссию по работе с молодежью. В последующие годы композитор много сочинял, наибольшую известность ему принесли его оперетты, военные песни и киномузыка (в том числе «С чего начинается Родина» (из к/ф «Щит и меч»), «На безымянной высоте», «От разлуки до разлуки» (из к/ф «Тишина»), «Березовый сок» (из к/ф «Мировой парень»), «Белой акации гроздья душистые» (из к/ф «Дни Турбиных»), «Песня о рыжем щенке» (из к/ф «Учитель пения»), «Это было недавно, это было давно» (из к/ф «Друзья и годы»), «На всю оставшуюся жизнь» (из одноименного к/ф). Баснер также является автором ряда статей в музыкальных журналах СССР. Большое влияние на творчество Баснера оказала его многолетняя дружба с Дмитрием Шостаковичем. Шостакович хорошо отзывался о сочинениях Баснера, помогал продвигать их на сцену. Как и Шостакович, Баснер высоко ценил музыку Густава Малера (чье влияние также заметно в музыке композитора) и еврейский музыкальный фольклор. В 1994 г. Баснер смог осуществить свою давнюю мечту — открыть в Петербурге еврейский театр «Симха» («Радость»), и на первом представлении мюзикла «Еврейское счастье» сам исполнил партию скрипки. В. Е. Баснер умер в поселке Репино под Санкт-Петербургом. Похоронен на Комаровском кладбище.